第四章 平均数与变异指标
上章介绍了计数资料的整理与分析，从本章开始介绍计量资料的整理与分析。通过调查或实验收集到的计量资料，是一群大大小小的变量值。为将这群变量值的特点描述出来，当例数较多时，可先编制成频数表，了解变量值的分布情况，然后计算平均数描述其集中位置，计算变异指标描述其离散程度；若倒数较少，亦可直接计算平均数与变异指标。现分述于下。
第一节 平均数
一、频数表的编制与频数分布
计量资料有离散型变量和连续型变量。对离散型变量，可列出变量值及其频数如表4.1。若变量值较多时，亦可用组段表示如表4.2。每个组段的起点称下限，终点称上限，上限与下限之差称组距。如表4.2第一组的下限是0，上限是1。第二组的下限是2上限是3，组距都是1。归组以后，该组的变量值用组段的中值代表，称组中值。如第一组的组中值为0.5。
表4.1 某市居民1095天中每天意外死亡人数(1980～82年)
| 死亡人数 | 天数 |
| 0 | 807 |
| 1 | 250 |
| 2 | 31 |
| 3 | 5 |
| 4 | 0 |
| 5 | 0 |
| 6 | 0 |
| 7 | 1 |
| 8 | 0 |
| ┆ | ┆ |
| 15 | 1 |
| 合 计 | 1095 |
表4.2 204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比
| 大单核数（个/每百白细胞） | 人数 |
| 0-1 | 24 |
| 2-3 | 40 |
| 4-5 | 55 |
| 6-7 | 37 |
| 8-9 | 27 |
| 10-11 | 18 |
| 12-13 | 1 |
| 14-15 | 0 |
| 16-17 | 1 |
| 18-19 | 0 |
| 20-21 | 1 |
| 合计 | 204 |
若是连续型变量，组段的写法与离散型变量的略有不同。如表4.3坐高第一组段下限为61，上限为62；第二组段的下限为62，上限为63。因此，上一组段的上限和下一组段的下限值相同。为便于归组，上限一般不写出来。如第一组写成“61-”，意思是凡坐高在61至未离散型变最的数值较大时，亦可按连续型变量写组段，如红细胞数（万/mm3）的组段应写成400-419，420-439，…，亦可简化写成400-，420-，…。这样由组段和频数两部分组成的表称为频数表。下面用表4.4资料说明频数表编制步骤。
表4.3 某市7岁男童坐高频数表
表 4.4 西安市7岁男童102人的坐高，cm
| 64.4 | 63.8 | 64.5 | 66.8 | 66.5 | 66.3 | 68.3 | 67.2 | 68.0 | 67.9 |
| 63.2 | 64.6 | 64.8 | 66.2 | 68.0 | 66.7 | 67.4 | 68.6 | 66.8 | 66.9 |
| 63.2 | 61.1 | 65.0 | 65.0 | 66.4 | 69.1 | 66.8 | 66.4 | 67.5 | 68.1 |
| 69.7 | 62.5 | 64.3 | 66.3 | 66.6 | 67.8 | 65.9 | 67.9 | 65.9 | 69.8 |
| 71.1 | 70.1 | 64.9 | 66.1 | 67.3 | 66.8 | 65.0 | 65.7 | 68.4 | 67.6 |
| 69.5 | 67.5 | 62.4 | 62.6 | 66.5 | 67.2 | 64.5 | 65.7 | 67.0 | 65.1 |
| 70.0 | 69.6 | 64.7 | 65.8 | 64.2 | 67.3 | 65.0 | 65.0 | 67.2 | 70.2 |
| 68.0 | 68.2 | 63.2 | 64.6 | 64.2 | 64.5 | 65.9 | 66.6 | 69.2 | 71.2 |
| 68.3 | 70.8 | 65.3 | 64.2 | 68.0 | 66.7 | 65.6 | 66.8 | 67.9 | 67.6 |
| 70.4 | 68.4 | 64.3 | 66.0 | 67.3 | 65.6 | 66.0 | 66.9 | 67.4 | 68.5 |
| 68.3 | 69.7 |
(二)找出原始资料中的最小、最大值 表4.4坐高的最大值为71.2cm，最小值为61.1cm，最大值与最小值之差称极差为10.1cm。
（二）定组距 先考虑组数。资料在100例以上的一般分10-15组。若例数较少，组数可相应少些；例数很多，组数可酌情多些，以能显示分布的规律为宜。此例拟分10组。将拟分的组数除极差（10.1/10≈1）得组距的约数。再调整到较方便的数如0.1、0.2、0.5，1、2、5、10、20、50……等。此例取组距为1。
（三）写组段 取等于或略小于最小值的整数为第一组的下限。按组距依次写出各组段的下限及短横，见表4.3组段行，注意短横“-”不能略去。
（四） 划线记数 像选举开票那样，将变量值逐个归入相应的组段，如将64.4归入“64-”组，63.8归入“63-”组。每归入一个变量值，在相应的组段内划一竖线，每逢第五线则作一横线跨在已划出的四条竖线上，这样五线连在一起最后计数时就很方便了。划完后将每个组段内的线条数写出，再将各组频数合计，频数表就编好了。
若事先不能确定合适的组数，可先分细些，需要时再将相邻两组合并。而分粗了，再要分细，则只得重划。
表4.4的资料编成频数表（见表4.3）后，可看出变量值的分布情况，若绘成直方图就更直观。从图4.1可看到横坐标约为66.5cm处直方最高，表示变量值围绕在66.5左右的最多；两侧对称下降，大于66.5和小于66.5的变量值个数基本相等。这种类型的分布为对称分布。第五章介绍的正态分布是其中最常见的一种。
图4.1 西安市7岁男童坐高分布
此外，如图4.2，变量值愈小频数愈多图形呈“L”形，图4.3的频数集中在变量值较小的一边，右侧尾部拖得很长。后两种属偏态分布。这三种频数分布都只有一个高峰称单峰分布。为更准确地说明分布的特征，对形状相同的分布作出集中位置和离散程度的比较，就需计算频数分布的一些特别值。如平均数、百分位数、极差、标准差、变异系数等。
图4.2 某市1095天中居民意外死亡人数（1980-1982）
图 4.3 204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比
二、众数、中位数、百分位数的意义及计算法
（一）众数 出现次数最多的变量值，或频数表上频数最多组的组中值即为众数。如表4.3中坐高的众数是66.5cm。这样仅由观察所得的众数称为观察众数。同一资料常因所用组距不同和下限取值不同，观察众数稍有出入，故又称概约众数，与观察众数相对应的尚有理论众数。理论众数的算法根据频数曲线类型的不同而异，数学上为与极大值相应的横坐标。
（二）中位数及百分位数
1．中位数 将n个变量值从小到大排列后，居中的一数就是中位数，符号为M，有的书上用Md。它将变量值分为两半，一半比它小，一半比它大。
X1
当n为奇数时
（4.1）
当n为偶数时
（4.2）
当资料呈明显偏态，或有个别的特小、特大值存在时，中位数的代表性往往比均数好。例如有5个变量值8、9、9、10、19。其中4个在9左右，但由于受数值19的影响，均数为11，不能很好代表中等水平。求中位数
比较符合实际。
根据频数表计算连续型变量的中位数可用式（4.3）或式(4.4)
（4.3）
或 
（4.4）
式中L、U分别为中位数所在组的下限及上限，A1为小于L的各组的累计频数，A2为大于U的各组的累计频数，fM、i分别为中位数所在组的频数和组距。现用表4.5说明计算步骤如下：
（1）求出中位数的位置。在频数表上，数据已由小到大排好了。中位数将频数等分为2，因此先计算n/2，得中位数的位置。
n/2=157/2=78.5
（2）列出频数表、计算累计频数。列频数表时，组段的短横“－”写在两个组段下限之间，其意义仍与写在右边的相同，见表4.5第（1）栏。
第（3）栏为累计频数。此例自上而下累计到略小于n/2为止得A1=41，表示住院天数为10天及以下的有41个人。若要知道第78.5人的变量值，就需要从10-15组内再累计（78.5-41=）37.5人。假定该组的49人在10-15天内均匀分布着（见图4.4），那么只要在10天上再加（78.5-41）/49个组距便是中位数了。所以
用符号表示见式（4.3）。
若将频数自下而上累计到略小于n/2为止，则得A2=67。也得出中位数在10-15组段内。
图4.4 中位数计算示意图
（3）写出L或U、fM及i。
（4）代入公式得M。
例4.1 求杆菌痢疾治愈者157名住院天数的中位数。
n/2＝157/2＝78.5
表4.5 杆菌痢疾治愈者的住院天数
L=10或U=15，fM=49，i=5。
代入公式
杆菌痢疾治愈者住院天数的中位数为13.8天。
中位数既然把频数等分为二，所以从另一端算起，用式（4.4）可得到同样的结果。
此例若计算治愈者平均住院天数得17.9天。从频数表上可看到157名患者中住院天数少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位数13.8天的代表性优于均数17.9天。
2．百分位数 中位数将频数等分为二，亦称二分位数。若将频数等分为四，则称四分位数，共有三个四分位数，即第一、第二、第三四分位数。第二四分位数即中位数。同理，将频数等分为十或一百的分位数称十分位数或百分位数。其实上述各种分位数都可用百分位数表示。百分位数的符号为Px，X代表第X百分位。例如第一四分位数、中位数可分别以P25、P50表示。计算百分位数的方法与中位数相似，只是式（4.3）中的n/2以nx/100代替，M以X代替。
（4.5)
式中LX、fx、ix分别为Px所在组的下限、频数及组距。A为小于Lx各组的累计频数。
例4.2，求例4.1中住院天数的P90。
（1）计算 
（2）累计频数自上而下至略小于141.3，见表4.5第（4）栏，得A=135。知P90在30-35组内，因此Lx=30，i=5,fx=7
（3）代入公式
第90百分位数为34.5天，说明有90%的患者住院天数在34.5天以下。
三、算术均数与几何均数的意义及计算方法
（一）算术均数 简称均数。设观察了n个变量值X1，X2，……Xa，一般可直接用式（4.6）求样本均数X。
式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成
X=１/n∑X （4.6)
例4.318-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量（g）如下，求心重的均数。
| 350 | 320 | 260 | 380 | 270 | 235 | 285 | 300 | 300 | 200 |
| 275 | 280 | 290 | 310 | 300 | 280 | 300 | 310 | 310 | 320 |
X＝1/20（350+320+…+320）＝5875/20＝293.75g
样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。（1）∑（X-X）=0，（2）∑（X-X）2为最小，前者读者
可自证，后者证明如下：
设：a≠X，则a＝X±d d>0
∑(X-a)2＝∑(X-X±d)2
＝∑[(X-X)±d]2
＝∑(X-X)2±2d∑(X-X)+Nd2
从第一个特性知∑(X－X）＝0，因此2d∑（X－X）＝0，
得
∑（X－a）2＝∑（X－X）2＋Nd2
N是例数，不可能为负，所以Nd2也不会是负数。
∑（X－a）2＞∑（X－X）2，∑（X－X）2为最小。
当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数c ，然后用式（4.7）计算，可提高均数的精度。
X＝C＋1/n×（Xi－C） （4.7）
若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式（4.8）
X＝X n-1+1/n×（Xn-Xn-1 (4.8)
例4.4 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X１０=292.37,又测得X20=320，求X20。
X20＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g
若相同的变量值个数较多，或对频数表资料求均数时，可用式（4.9）计算X。
或简写为X＝1/n∑fX (4.9)
式中K为不同变量值个数，或频数表中的组段数。Xi为第i个不同的变量值或频数表上的组中值，fi为第i个变量值的频数。
例4.5 计算表4.5菌痢治愈者的平均住院天数。
X＝1/157（3×2.5+38×7.5……+1×77.5）=17.9天
式（4.9）中某变量值的频数愈大，则该变量值对X的影响亦愈大。因此，频数又称权数，这样
计算出来的均数又叫加权均数。亦有根据变量值的重要性进行加权，计算加权均数的。
（二）几何均数 设n个变量值X1，X2，……，Xa呈对数正态分布，其几何均数G为
式中∏为连乘的符号。当变量值较多时，乘积很大，计算不便，常改用下式计算
(4.10)
或 
(4.11)
式中符号含义同式（4.6）与式（4.9）。
例4.6 求下表中麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度。
表4.6 52例麻疹患者恢复期血清麻疹病毒
特异性IgG荧光抗体滴度
| IgG滴度倒数 | 例数 |
| 40 | 3 |
| 80 | 22 |
| 160 | 17 |
| 320 | 9 |
| 640 | 0 |
| 1280 | 1 |
G=log-1[1/52×(3log40+22log80+…+log1280）]=129.3
麻疹患者恢复期血清麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度为1:129。
式（4.10）包含三个步骤，（1）令Xi=logXi，则式（4.10）可写成
；(2)1/n∑Xi
即对数数值的均数X；（3）将X取反对数即得几何均数1og-1X=G。这里不难理解，若将这种资料作对数变换后，即可用式（4.6）至式(4.9)的各式计算均数，得到结果后再取反对数即得几何均数。读者可自已验证。
四、运用平均数的注意事项
平均数是描述一群同质变量值集中位置的特征值，用来说明某现象或事物数量的中等水平。通常用平均数作为算术均数、几何均数、众数、中位数等的统称，而以均数作为算术均数的简称。
1．同质的事物或现象才能求平均数 我们检查200名正常人的红细胞数（万/mm3）计算平均数，定出正常值范围，作为诊断贫血的依据之一。如果正常人中混有贫血患者，那么求出的平均数既不能说明正常人也不能说明贫血患者，有人把它称为虚构的平均数，因为它模糊了数量特征，不能提供分析的依据了。因此计算平均数以前必须考虑资料的同质性。有人研究某药物的利尿作用，观察了二条狗、三头兔子用药前后的排尿滴数，曾将狗与兔子的排尿滴数加在一起求平均数。由于狗体大，排尿滴数较兔子的多，得到的平均数对狗来说似嫌少，而对兔子来说又显得太多，这是虚构平均数的又一例。
像狗与兔子，贫血患者与正常人的不同质是显而易见的。但即使是正常人，性别、年龄、地区不同，红细胞数的均数也有差异。那么怎样才算是同质呢？是否同质，要根据研究目的而定。例如研究痢疾患者的平均治愈日数时，要考虑不同病原菌、不同型别（急性、慢性等）的患者是不同质的。但当研究传染病的住院日数时，则不同疾病（痢疾、伤寒、……）是不同质的，而所有痢疾病人，不论由何种病原菌引起，或是何种型别都认为是同质的了。若研究各医院的平均住院天数时，医院类型（传染病院、儿童医院、综合医院、……）以及同类医院中，科室（内、外、传染……）设置及床位分配不同等就是不同质的了。不同质的事物就要分组求平均数，以便分析比较。因此科学的平均数是建立在分组的基础上的。
2．用组平均数补充总平均数 表4.7是某院1983年的治愈者平均住院天数。总均数为18天。但从表中可见，它所包含的20类（其他类除外）的疾病中，变态反应及中毒、小儿科疾病住院天数最短为9天，而结核病的却长达60天。住院天数高于总均数的有10类，治愈人数共1358人，占治愈总人数（其他类除外）的35%。若医疗质量基本不变，多收结核病人，住院天数的总均数无疑会延长；而多收小儿患者，总均数就会缩短。因此如没有收容病种的分析，仅从总均数的延长或缩短来看医疗质量是不科学的。而对各时期同种疾病的住院天数进行分析，比较适宜。
表4.7某医院1983年各类疾病治愈者的平均住院天数
| 病类 | 治愈人数 | 平均住院天数 | 病类 | 治愈人数 | 平均住院天数 |
| 传染病寄生虫病 | 437 | 13 | 外科疾病 | 549 | 18 |
| 结核病 | 109 | 60 | 外伤 | 383 | 28 |
| 呼吸系疾病 | 246 | 14 | 肿瘤 | 65 | 34 |
| 消化系疾病 | 255 | 24 | 眼科疾病 | 112 | 14 |
| 内分泌疾病 | 41 | 35 | 耳鼻喉科疾病 | 417 | 10 |
| 循环系疾病 | 34 | 37 | 口腔科疾病 | 30 | 12 |
| 血液及造血系统疾病 | 7 | 33 | 皮肤科疾病 | 224 | 22 |
| 神经系疾病 | 111 | 25 | 妇产科疾病 | 78 | 12 |
| 变态反应及中毒 | 43 | 9 | 小儿疾病 | 601 | 9 |
| 风湿病 | 21 | 10 | 其他 | 35 | 19 |
| 泌尿系疾病 | 129 | 21 | 合计 | 3927 | 18 |
3．根据资料的分布选用适当的平均数 计量资料如是单峰对称分布，宜用均数，亦可用中位数。若是偏态分布则中位数的代表性常较均数为好。某些传染病的潜伏期、抗体滴度、细菌计数、率或比的变化速度及某些物质浓度等，其频数分布明显偏态，但经对数代换后近于正态分布的，如图4.3资料，应计算几何均数以描述其中等水平。